Der von mir oben genannte Link sollte wohl immer den aktuellen Stand aufweisen. Ergänzungen der Länder sind zusätzlich zu beachten.
Alles andere sind Mutmaßungen und persönliche Interpretationen!

In zitiere aus o.g. Link:
"Wie wird die Testpflicht kontrolliert?

Reisende aus Risikogebieten sind verpflichtet, sich unverzüglich nach Rückkehr beim*****zuständigen Gesundheitsamt*****zu melden und dort auch Angaben über mögliche Symptome und einen Test zu machen.

Vor der direkten Einreise aus einem Risikogebiet mit dem Flugzeug, Schiff, Zug oder Bus müssen die Reisenden dagegen sogenannte*****Aussteigekarten*****ausfüllen. Auf diesen Karten werden auch Angaben zu Symptomen und zu einem vorhandenen Testergebnis gemacht. Die Aussteigekarten werden eingesammelt und an die Gesundheitsbehörden am Wohnort bzw. Zielort der Reisenden in Deutschland weitergegeben (soweit noch kein negatives Testergebnis nachgewiesen wurde). Diese lokalen Behörden führen dann Stichprobenkontrollen zur Überwachung der häuslichen Quarantäne durch"
@ thomas:
Aussteigekarten für Gesundheitsamt zur Überwachung, die weitere Registrierung NUR für den Test und dessen Ergebnis - persönlich! - Ergebnis ist dann zum/dem Gesundheitsamt melden/mitzuteilen.